Sie brauchte die Dezimalform von 7 geteilt durch 22 für eine schnelle Schätzung, aber die Ziffern fuhren so fort, dass sie unsicher blieb, ob sie den vollen Wert erfasst oder einfach einen arithmetischen Schieber gemacht hatte.
Die Teilung durchführen von Hand
Beginnen Sie mit 7.000000. Twenty-two geht in 70 dreimal, weil 3 mal 22 gleich ist 66. Subtrahieren, um einen Rest von 4 zu hinterlassen 4. Nehmen Sie eine Null, um 40 zu machen 40. Twenty-two geht in 40 einmal, da 1 mal 22 gleich ist 22. Subtrahieren Sie, um 18 zu verlassen. Subtrahieren Sie eine andere Null, um 180 zu machen. Twenty-two geht in 180 achtmal, weil 8 mal 22 gleich ist 176. Subtrahieren Sie, um 4 wieder zu hinterlassen. Die restlichen 4 sind zurückgekehrt, so dass die Sequenz, die nach dem ursprünglichen 3 begonnen hat, wiederholt wird.
Das Ergebnis liest daher 0.3181818... Die erste Ziffer nach dem Dezimalpunkt steht allein, dann das Paar 18 Zyklen ohne Ende.
Warum das Muster erscheint und weitergeht
Die Wiederholung geschieht, weil der Nenner 22 den Primfaktor 11 enthält, nachdem alle Faktoren von 2 oder 5 entfernt wurden. Wenn eine Fraktion in den niedrigsten Begriffen einen Nenner hat, dessen Primfaktoren nichts anderes als 2 und 5 enthalten, kann das Dezimal nicht enden.
In diesem Fall zirkulieren die Reste alle zwei Schritte, sobald der ursprüngliche Rest von 4 zurückkehrt. Das erzeugt die zweistellige Wiederholung. Der gleiche Mechanismus regelt jedes nicht endende Dezimal; nur die Länge des Zyklus ändert sich mit dem Nenner.
Photo by Jesús Vidal on Unsplash
Vergleich der nahe gelegenen Fraktionen
Platzieren Sie 7/22 neben ein paar bekannten Fraktionen, um den Kontrast zu sehen. Eine Hälfte entspricht 0,5 und stoppt. Ein Drittel entspricht 0,333... mit einer einzelnen Ziffer, die sich von Anfang an wiederholt. Ein Siebter erzeugt den bekannten sechsstelligen Zyklus 0.142857 wiederholend. Zwanzig zweimal durch 7, die bekannte Annäherung für pi, erzeugt 3.142857 wiederholend, wieder ein sechsstelliger Zyklus. Sieben durch 22 Sitze zwischen diesen Beispielen: ein kurzer, nicht wiederholender Präfix gefolgt von einer zweistelligen Wiederholung.
Die Anwesenheit von 11 zwingt die Wiederholung; die spezifische Zykluslänge hängt von der Multiplikationsordnung von 10 Modulo dieses Faktors ab.
Das Muster in der Praxis sehen
Jeder, der mit Messungen oder Verhältnissen gearbeitet hat, hat diese wiederholenden Dezimalzahlen erfüllt. Eine Länge, die als 7/22 einer Einheit ausgedrückt wird, wird nie genau auf einer endenden Dezimalzahlen landen, wenn sie in Basis zehn gemessen werden. Die wiederholte Form dokumentiert einfach, dass das genaue Verhältnis im Dezimalsystem, das wir jeden Tag verwenden.
Eine klare Demonstration des gleichen Long-Division-Prozesses erscheint in detaillierten Erklärungen, die auf etablierten Math-Learning-Sites gehostet werden.
Eine weitere nützliche Referenz durchläuft die identische Berechnung und bestätigt, dass der wiederholende Block nach dem ersten Dezimalplatz beginnt.
Unsicherheit in eine wiederholbare Methode verwandeln
Die praktische Angewohnheit ist einfach. Wenn eine Fraktion erscheint, reduzieren Sie sie, wenn möglich, und führen Sie dann die Teilung durch, während Sie die Reste in einer kleinen Spalte verfolgen. Der Moment, in dem ein Rest wiederholt wird, ziehen Sie die Bar und stoppen Sie. Die Methode funktioniert für jede Fraktion und entfernt die Vermutung, die diese Konvertierungen einst begleitet hat.
Haben Sie jemals die dritte oder vierte Ziffer erreicht und sich gefragt, ob das Muster weitergeht?Die verbleibende Spalte beantwortet diese Frage, bevor weitere Berechnungen erforderlich sind.
Photo by Bekky Bekks on Unsplash
Ein kleiner Schritt in diesem Monat
Nehmen Sie fünf Minuten mit Papier und Bleistift. Teilen Sie 7 durch 22 genau wie beschrieben und markieren Sie jeden Rest. Beachten Sie den Punkt, an dem die 4 wieder auftaucht. Diese einzige Beobachtung verwandelt ein vages Gefühl von "es geht weiter" in ein präzises Verständnis, wo der Zyklus beginnt und warum er nie endet.